Правила определения статистической погрешности погрешности косвенных измерений. Расчёт погрешностей косвенных измерений. Погрешности косвенных измерений
Расчет погрешностей при прямых и косвенных измерениях
Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения . Измерения выполняются опытным путем с помощью специальных технических средств.
Прямыми измерениями называются измерения, результат которых получается непосредственно из опытных данных (например, измерение длины линейкой, времени – секундомером, температуры – термометром). Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получают в процессе прямых измерений (например, определение скорости по пройденному пути и времени https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Всякое измерение, как бы оно тщательно не было выполнено, обязательно сопровождается погрешностью (ошибкой) – отклонением результата измерений от истинного значения измеряемой величины.
Систематические погрешности – это погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, в одних и тех же условиях. Систематические погрешности происходят:
В результате несовершенства приборов, используемых при измерениях (например, стрелка амперметра может быть отклонена от нулевого деления в отсутствие тока; у коромысла весов могут быть неравные плечи и др.);
В результате недостаточно полной разработки теории метода измерений, т. е. метод измерений содержит в себе источник ошибок (например, возникает ошибка, когда в калориметрических работах не учитывается потеря тепла в окружающую среду или когда взвешивание на аналитических весах производится без учета выталкивающей силы воздуха);
В результате того, что не учитывается изменение условий опыта (например, при долговременном прохождении тока по цепи в результате теплового действия тока меняются электрические параметры цепи).
Систематические погрешности можно исключить, если изучить особенности приборов, полнее разработать теорию опыта и на основе этого вносить поправки в результаты измерений.
Случайные погрешности – это погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Причины их кроются как в несовершенстве наших органов чувств, так и во многих других обстоятельствах, сопровождающих измерения, и которые нельзя учесть заранее (случайные ошибки возникают, например, если равенство освещенностей полей фотометра устанавливается на глаз; если момент максимального отклонения математического маятника определяется на глаз; при нахождении момента звукового резонанса на слух; при взвешивании на аналитических весах, если колебания пола и стен передаются весам и т. д.).
Случайных погрешностей избежать нельзя. Их возникновение проявляется в том, что при повторении измерений одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, отличающиеся друг от друга. Поэтому, если при повторении измерений получались одинаковые значения, то это указывает не на отсутствие случайных погрешностей, а на недостаточную чувствительность метода измерений.
Случайные погрешности изменяют результат как в одну, так и в другую сторону от истинного значения, поэтому, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок на результат измерений, обычно многократно повторяют измерения и берут среднее арифметическое всех результатов измерений.
Заведомо неверные результаты - промахи возникают вследствие нарушения основных условий измерения, в результате невнимательности или небрежности экспериментатора. Например, при плохом освещении вместо “3” записывают “8”; из-за того, что экспериментатора отвлекают, он может сбиться при подсчете количества колебаний маятника; из-за небрежности или невнимательности он может перепутать массы грузов при определении жесткости пружины и т. д. Внешним признаком промаха является резкое отличие результата по величине от результатов остальных измерений. При обнаружении промаха результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить. Выявлению промахов способствует также сравнение результатов измерений, полученных разными экспериментаторами.
Измерить физическую величину это значит найти доверительный интервал , в котором лежит ее истинное значение https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> случаев истинное значение измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Величина выражается или в долях единицы, или в процентах. При большинстве измерений ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95. Иногда, когда требуется чрезвычайно высокая степень надежности, задают доверительную вероятность 0,999. Наряду с доверительной вероятностью часто пользуются уровнем значимости , который задает вероятность того, истинное значение не попадает в доверительный интервал. Результат измерения представляют в виде
где https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – абсолютная погрешность. Таким образом, границы интервала , https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> лежит в пределах этого интервала.
Для того чтобы найти и , выполняют серию однократных измерений. Рассмотрим конкретный пример..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height="23">.png" width="72" height="24">. Значения могут и повторяться, как значения и https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Соответственно уровень значимости .
Среднее значение измеряемой величины
Измерительный прибор также вносит свой вклад в погрешность измерений. Эта погрешность обусловлена конструкцией прибора (трением в оси стрелочного прибора, округлением, производимым цифровым или дискретным стрелочным прибором и пр.). По своей природе это систематическая ошибка, но ни величина, ни знак ее для данного конкретного прибора неизвестны. Приборную погрешность оценивают в процессе испытаний большой серии однотипных приборов.
Нормированный ряд классов точности измерительных приборов включает такие значения: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности прибора равен выраженной в процентах относительной ошибке прибора по отношению к полному диапазону шкалы. Паспортная погрешность прибора
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= DХ/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле DХ=Х пр *e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений
| Вид функции | Формула |
| Х=А+В+С | |
| Х=А-В | |
| Х=А*В*С | |
| Х=А n | |
| Х=А/В | |
| Х= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm полезно) Как правильно проводить измерения http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н
μ=0,33. Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н. Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
Следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет 0,22*0,33=0,074
Ответ:
Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измерение может быть произведено с помощью:
1. мер, представляющих собой образцы единицы измерения (метр, гиря, литровый сосуд и т.п.),
2. измерительных приборов (амперметр, манометр и т.п.),
3. измерительных установок, под которыми понимают совокупность мер, измерительных приборов и вспомогательных элементов.
Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно. Прямыми измерениями являются, например, измерение длины линейкой, времени - секундомером, силы тока - амперметром.
В косвенных измерениях непосредственно измеряют не ту величину, значение которой нужно узнать, а другие величины, с которыми искомая величина связана определенной математической зависимостью. Например, плотность тела определяют по измерению его массы и объема, а сопротивление - по измерению силы тока и напряжения.
В силу несовершенства мер и измерительных приборов, а также наших органов чувств, измерения не могут быть выполнены точно, т.е. всякое измерение дает лишь приближенный результат. Кроме того, часто причиной отклонения результатов измерений является природа самой измеряемой величины. Например, температура, измеряемая термометром или термопарой в определенной точке печи, колеблется вследствие конвекции и теплопроводности в определенных пределах. Мерой оценки точности результата измерения служит погрешность измерения (ошибка измерения) .
Для оценки точности указывают либо абсолютную погрешность, либо относительную погрешность измерения. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Например, отрезок пути, пройденный телом, , измерен с абсолютной погрешностью . Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. В приведенном примере относительная погрешность равна . Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.
По источникам своего происхождения погрешности измерения подразделяют на систематические, случайные и грубые (промахи).
1. Систематические погрешности - погрешности измерения, величина которых остается постоянной при повторных измерениях, проводимых одним и тем же методом, с помощью одних и тех же измерительных приборов. Причинами систематических погрешностей являются:
· неисправности, неточности измерительных приборов
· неправомерность, неточность использованной методики измерения
Примером систематических погрешностей может быть измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой, измерение тока неправильно отградуированным амперметром, взвешивание тела на весах при помощи гирь без учета выталкивающей силы Архимеда.
Для устранения или уменьшения систематических погрешностей надо тщательно проверить измерительные приборы, произвести измерение одних и тех же величин разными методами, вводить поправки, когда ошибки заведомо известны (поправки на выталкивающую силу, поправки на показания термометра).
2. Грубые ошибки (промахи) - существенное превышение величины погрешности, ожидаемой при данных условиях измерения. Промахи появляются в результате неправильной записи показаний прибора, неправильного отсчета по прибору, из-за ошибки в расчетах при косвенных измерениях. Источник промахов - невнимательность экспериментатора. Путь устранения этих погрешностей - аккуратность экспериментатора, исключение переписывания протоколов измерения.
3. Случайные погрешности - погрешности, величина которых меняется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же методом при помощи тех же приборов. Источником случайных погрешностей является неконтролируемая невоспроизводимость условий измерения. Например, во время измерения неконтролируемым образом может меняться температура, влажность, атмосферное давление, напряжение в электрической сети, состояния органов чувств экспериментатора. Исключить случайные погрешности нельзя. При многократных измерениях случайные ошибки подчиняются статистическим законам, и их влияние можно учесть.
Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U , которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения
Y =f (Х 1 , Х 2 , … , Х n ), (1.4)
где Х j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.
В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.
Способ 1. Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.
Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:
где частные производные функции Y =f (Х 1 , Х 2 , … , Х n ) по аргументу Х j ,
Общая погрешность прямых измерений величины Х j .
Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y . Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X j .
То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .
Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n= 10.
Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:
Пусть при Р= 0,68;
При Р= 0,68.
Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:
Погрешность D V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.
Средний объём равен: , относительная погрешность d V равна:
Или d V = 19%.
V =(47±9) мм 3 , d V = 19%, Р= 0,68.
Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.
В начале находят относительную погрешность d , и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.
Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - определение погрешности при измерении объёма цилиндра
Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.
Пусть мм , ; при Р= 0,68;
; при Р=0,68.
Погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)
При использовании способа 2 следует действовать так:
1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)
найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,
2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:
3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:
Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:
причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:
Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1 :
Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:
D V =0,19 · 47=9,4 мм 3 , P =0,68.
Окончательный результат после округления:
V = (47 ± 9) мм 3 , d V = 19%, P =0,68.
Контрольные вопросы
1. В чём заключается задача физических измерений?
2. Какие типы измерений различают?
3. Как классифицируют погрешности измерений?
4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?
5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?
6. Как оценить систематическую погрешность?
7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?
8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?
9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Х ср - s до Х ср + s ?
10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s , то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?
11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?
12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?
13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?
14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?
В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле
Величины D и h будут измерены с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …
φ(Х, У, Z …).
Путем прямых измерений мы можем найти величины , а также оценить их средние абсолютные ошибки … или средние квадратичные ошибки s Х, s У, s Z …
Тогда средняя арифметическая погрешность Dj вычисляется по формуле
где - частные производные от φ по Х, У, Z. Они вычисляются для средних значений …
Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле
Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.
а) Средняя арифметическая погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой DD и Dh.
б) Средняя квадратичная погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой s D , s h .
Погрешность величины объёма будет равна
Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности D.
В итоге получится формула для относительной погрешности
Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj
Пример.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность
Правила представления результатов измерения следующие:
1) погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
правильно Dj = 0,04,
неправильно - Dj = 0,0382;
2) последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:
правильно j = 9,83±0,03,
неправильно - j = 9,826±0,03;
3) если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:
правильно - j = (5,27±0,03)×10 -5 ,
неправильно - j = 0,0000527±0,0000003,
j = 5,27×10 -5 ±0,0000003,
j = = 0,0000527±3×10 -7 ,
j = (527±3)×10 -7 ,
j = (0,527±0,003) ×10 -4 .
4) Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g=(9,82±0,02) м/c 2 ,
неправильно – g=(9,82±0,02).
Правила построения графиков
1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).
6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.
Загрузка...